等差数列
在等差数列中，相邻两项之间的差值是常数。等差数列有时也称为算术数列。这个数列是等差数列。相邻两项之间的差值是 +2。数列是递增的。这个数列是等差数列。相邻两项之间的差值是 -2.5。数列是递减的。差值不是常数，所以这个数列不是等差数列。
等差数列：相邻两项之间的差值是常数的数列。
等差数列的通项公式：
\( u_n = a + (n-1)d \)
其中：
• \( u_n \) 是第 n 项
• \( a \) 是首项
• \( d \) 是公差
\( u_n = a + (n-1)d \)
等差数列的通项公式，其中 a 是首项，d 是公差
题目：等差数列的第 n 项是 \( u_n = 55 - 2n \)。
a) 写出数列的前5项。
解答：
\( u_1 = 55 - 2(1) = 53 \)
\( u_2 = 55 - 2(2) = 51 \)
\( u_3 = 55 - 2(3) = 49 \)
\( u_4 = 55 - 2(4) = 47 \)
\( u_5 = 55 - 2(5) = 45 \)
所以前5项是：53, 51, 49, 47, 45
题目：等差数列的第 n 项是 \( u_n = 55 - 2n \)。
b) 求第99项。
解答：
\( u_{99} = 55 - 2(99) = 55 - 198 = -143 \)
题目：等差数列的第 n 项是 \( u_n = 55 - 2n \)。
c) 求数列中第一个负项。
解答：
设 \( u_n < 0 \)，即 \( 55 - 2n < 0 \)
\( -2n < -55 \)
\( n > 27.5 \)
因为 n 必须是正整数，所以 \( n = 28 \)
\( u_{28} = 55 - 2(28) = 55 - 56 = -1 \)
所以第28项是第一个负项，值为-1。
题目：求下列等差数列的第 n 项：
a) 6, 20, 34, 48, 62
解答：
\( a = 6, d = 20 - 6 = 14 \)
\( u_n = 6 + 14(n-1) \)
\( u_n = 6 + 14n - 14 \)
\( u_n = 14n - 8 \)
题目：求下列等差数列的第 n 项：
b) 101, 94, 87, 80, 73
解答：
\( a = 101, d = 94 - 101 = -7 \)
\( u_n = 101 - 7(n-1) \)
\( u_n = 101 - 7n + 7 \)
\( u_n = 108 - 7n \)
注意：如果数列是递减的，那么 d 是负数。
题目：数列由公式 \( u_n = an + b \) 生成，其中 a 和 b 是待求常数。已知 \( u_3 = 5 \) 和 \( u_8 = 20 \)，求常数 a 和 b 的值。
解答：
\( u_3 = 5 \)，所以 \( 3a + b = 5 \) ... (1)
\( u_8 = 20 \)，所以 \( 8a + b = 20 \) ... (2)
(2) - (1) 得：\( 5a = 15 \)
\( a = 3 \)
代入(1)：\( 9 + b = 5 \)
\( b = -4 \)
所以常数是 \( a = 3 \) 和 \( b = -4 \)。
在求解等差数列问题时，要确保正确识别首项 a 和公差 d。如果数列是递减的，公差 d 为负数。在求特定项时，要注意 n 的取值范围。
通过本节的学习，你应该能够：